Tagebuch: Marcel

Graphen sind ein einfach verständliches, aber mächtiges Hilfsmittel zur Darstellung von Relationen. Was sind Relationen?

Eine Relation ist ein Verhältnis, eine Beziehung, ein Zusammenhang, eine Sichtweise. Wir denken ständig in Relationen. Jede Datenbank ist in Relationen unterteilt oder mit ihnen aufgebaut. In der informationstechnisch durchdrungenen (oder: auf sie abgerichteten) Welt sind wir ständig von technisch gewendeten Relationen umgeben.

Die Mathematik hat selbstverständlich den genauesten, weil formalen Begriff von Relation. Sie definiert eine Relation so:

Gegeben seinen zwei Mengen A und B. Jede Untermenge R des cartesischen Produktes A x B ist eine „Relation“.

Wenn also das Paar (a, b) in der Menge R enthalten ist (a ist in A, b ist in B), dann sagt man, „a steht zu b in der Relation R“. Z.B. ist die Zahl 7 kleiner als 11. Also liegt das Paar (7, 11) in der RelationK all der Zahlenpaare, deren erstes Element kleiner als das zweite ist.

Ein Graph wird nun so definiert:

Es sei V eine (endliche) Mengen von „Knoten“. Weiter sei E eine ebenfalls endliche Teilmenge von V x V, also von Paaren aus V. Die Elemente von E nennen wir „Kanten“. Dann heißt das Paar (V, E) „Graph“.

Oft werden zwei Abbildungen definiert: first : E –> V und last : E –> V. Dabei ist dann first(e) der Knoten, in dem die Kante e „beginnt“ und last(e) der Knoten, in dem sie endet.

Ein „Pfad“ ist ein Weg durch einen Graphen. Das ist eine Folge von Kanten, die in einem Knoten beginnen und in einem Knoten enden und die sich ohne Lücke aus einander fortsetzen. Genauer notiert: Ein Pfad p ist eine Folge {v1, e1, v2, e2, ..., en-1, vn}. Eine beliebte Veranschaulichung („Visualisierung“) von Graphen ist ihre grafische Darstellung mit den Knoten als Punkten (oder Kästchen) und den Kanten als Linien zwischen den Knoten. Diese Linien können geradlinig sein oder beliebig gebogen.

Ein Graph heißt „eben oder „planar“, wenn er sich so in der Ebene zeichnen lässt, dass keine zwei Kanten sich schneiden. Zu entscheiden, ob ein gegebener Graph planar sei oder nicht, ist eine wichtige, aber schwierige Aufgabe.

Wenn ein Pfad im selben Knoten beginnt und endet, also v1 = vn ist, heißt der Pfad „Zyklus“ oder „Kreis“.

Ein zusammenhängender Graph ohne Zyklen heißt „Baum“. Ein Baum hat einen Knoten, der von keinem anderen Knoten aus erreichbar ist, die „Wurzel“ des Baumes. Solche Knoten eines Baumes, von denen keine Kante ausgeht, heißen „Blätter“. Knoten, die weder Wurzel noch Blätter sind, heißen „innere Knoten“. In einem Baum ist jeder Knoten außer der Wurzel auf genau einem Pfad erreichbar.

Bäume spielen in der Informatik und Programmierung eine wichtige Rolle. Die Ursache hierfür: Jede Hierarchie lässt sich als Baum darstellen.

Binäre Bäume sind solche, bei denen ein Knoten höchstens zwei direkte Nachfolger hat. Die Nachfolge eines Knoten ist die Menge aller Knoten, die von diesem Knoten aus erreicht werden.

Eine besondere Art von Graphen sind die „Syntaxdiagramme“. Mit ihnen lässt sich die Syntax von geeigneten Programmiersprachen komplett grafisch darstellen. Das Erlernen solcher Programmiersprachen ist besonders einfach, da ihre Syntax i.d.R. auf wenigen Seiten zusammengefasst werden kann und so komplett grafisch vorliegt.

Selbstverständlich sind alle Röhrensysteme oder Schaltungsschemata und vieles mehr (Straßensysteme, allgemein Verkehrswege, Verwandtschaftsbeziehungen, Flussdiagramme, Graphic Pipelines etc. pp.) als Graphen darstellbar.

Wenn jemand fragen sollte, warum wir in inserem Kurs den Begriff des Graphen an die Spitze gestellt habenm, so ist der Grund dieser: Graphen sind ein äußerst vielseitiges Mittel, um komplexe Strukturen übersichtlich darzustellen. Und über Graphen weiß die Mathematik sehr viel. Die Kunst ist derzeit verrückt nach Graphen.

Reference Work

• Frieder liest das vorwort zu dem buch Graphs and their Uses (New Mathematical Library) von Oystein Ore.

• Valence von Ben Fry
• Sketch for the Tree Of Life Installation von Dennis Paul

Programming

check out this physic-based example of an implementation of a graph.

you might find this interesting: a processing library for drawing function graphs ( i have not checked it out yet ).

another example of an application of the concept of graphs is called pathfinding. a special pathfinding algorithm is the a* algorithm ( pronounced a star ). you might find this processing implementation of interest ( pathfinding ).

Tagebuch: Malte

Tagebuch: Ariane

Tagebuch: Henrik

• Das Gestell von Martin Heidegger
• Gestalt Psychology
• Der Schatten des Körpers des Kutschers

Tagebuch: Benjamin

• [1]
• [2]
• [3]

• eine processing library zum Lindenmayer-System

Ideenskizzen

felix

Evolution von Gestaltung. Mithilfe von genetischer Algorithmik soll eine "ideale Gestaltung" auf einem Raster ermittelt werden. Darstellung?

1. Selektion mithilfe der Besucher der Hochschultage
2. Vorselektion - Produktion eines Videos

julian

glitch art.

benji

1. Was ist umgekehrte Rekursion?

a -> f(a)

f(a) -> f(f(a))

...

f(a) -> a

a -> ?

1. 1. Ansatz?

f(a) = a + 2

Umkehrfunktion:

g(b) = b - 2

g(f(a)) -> a

g(g(f(a))) -> g(a)

 ^
/|\
 L___ Rekursion?
 

1. 1. Ansatz?

Bei Replikation als rekursives Verhalten. Unter bestimmten Vorraussetzungen, erzeugt Objekt1 ein identisches Objekt2. Gleiche (nicht die selben) Objekte die wieder die dieses Verhalten aufweisen.

Äquivalenz Umgekehrte Rekursion: ?

1. Egoismus? Denken über sich selbst.

Ich denke darüber nach wie ich über mich nachdenke.

"Denken Sie mal über sich nach!"

1. Reproduktion aus eigenen Resourcen.

Ein System baut sich selbst nach, aus sich selbst. Ist sein Nachbau es selbst oder nur eine Kopie?

michele

kamera kreis. eine kamera filmt den screen der nächsten.

okan

eine art videospiegel in dem die gefilmten auf der basis der fibonacci reihe dupliziert werden.

philip

Rekursion, Genetische Programmierung, Papier

Was mutiert? Nach welchen Regeln mutiert es? Wie schaut es aus?

Was ist das? Blaues Licht. Was tut es? Es leuchtet blau.

adrian

non-interactive. code wird zu bild wird zu code.

martyna

Können sich Rekursionen gegenseitig aufheben? Kann eine Rekursion sich selbst zerstören? Kann eine Rekursion mutieren bzw. sich selbst beeinflussen? Warum können sich Rekursionen gegenseitig aufheben? Was muss ich tun, damit sie das tun? Was passiert, wenn sie das tun? Kann eine Rekursion überstehen? Als Gegenstand der Untersuchung wird das Raster dienen.

malte

eine kamera filmt menschen, ein algorithmus baut veränderungen in das gefilmte ein. ein projektor projeziert das gefilmte wieder auf die menschen. die veränderungen werden von der kamera wieder aufgenommen und ein feedbackloop entsteht.

david

etwas in seine unteraspekte zerlegen.

ariane

schneckenhaus. ( REF 'die formen der farben', karl gerstner )

ash

rekursion als prozess.

hendrik

interesse an vehicles und l-systemen.

simon

rekursion und audio?

jonas

eine formale odyssey in rekursive strukturen?

henrik

was bedeutet rekursion im alltag? unsere vergangenheit bestimmt die wahrnehmung der gegenwart. kann man rekursionen im alltag verhindern?

jonas

gefaltete dreiecke

dennis

?

Frieder

Beim Workshop zu Processing am Samstag, 23. Oktober, wurde die Frage gestellt, von welcher Art denn nun die Beiträge sein sollten, die wir erbitten und verlangen, wenn jemand die Leistungspunkte sammeln möchte. Dazu haben wir in der Tat bisher wenig verlauten lassen. Also muss etwas gesagt werden.

Bisher haben wir nur gesagt, Ihr sollt allein oder in Gruppen zu zweit oder zu dritt eine konkrete Aufgabe bearbeiten, die Ihr Euch im Rahmen eines Themas stellt, das wir vorgeben. Die Vorgabe lautet „Rekursion“. Das ist noch ein bisschen dürftig.

Randbedingungen sind noch: Eure Beiträge sollen zu einer Ausstellung zusammen kommen, die wir als Ergebnis dieses Semesters und als Leistungs-Schau des Kurses „Generative Gestaltung“ bei den Hochschultagen 2010 aufbauen wollen. Die Hochschultage finden am 5. und 6. Februar statt. Am 28. Oktober soll Ihr schon mal erste Ideen vortragen, die Ihr habt. Am 4. November ist unser Thema „Iteration und Rekursion“. Am 13. November, im Rahmen des dritten Workshop zu Processing, soll von Euch Genaueres kommen.

Von Mitte November bis Anfang Februar habt Ihr schon noch gut Zeit, um etwas Spannendes und Aufregendes zur Ausstellung bei den Hochschultagen zustande zu bringen. Wir werden aber regelmäßig und zum Ende hin sogar ausschließlich auf diese Beiträge hin unsere Arbeit orientieren müssen.

Was soll herauskommen? Ein Beitrag, der zu einer Ausstellung, die sich mit dem Thema „Rekursion“ befasst, angenommen werden kann. Was kann das sein? In erster Linie wohl eine Installation, die auf einem Programm, einer Implementierung basiert. Sie mag interaktiv sein oder passiv, sie mag visuell sein oder auditiv oder beides, sie mag ein Video sein, das abläuft, oder ein Programm. Der Beitrag mag eine Serie von Bildern sein. Ein Büchlein. Ein Mixed-Media Werk. Kurz, die Form soll für den Augenblick noch offen gelassen bleiben, bis Eure Ideen kommen.

Die Thematik aber, „Rekursion“ oder „Rekursivität“, muss sichtbar, wahrnehmbar, spürbar werden. Ihr sollt Euch mit diesem Thema befassen, wie man das so sagt. Ihr sollt in es eindringen, tief, nicht nur oberflächlich. In Gesprächen, in Betrachtungen, in Büchern, in Programmen. Ihr sollt Euch mit dem Thema „Rekursion“ befassen, um den Kern dessen zu erfassen, was mit Algorithmik gemeint ist; diesem Thema sollt Ihr dann aber eine gestaltete Form geben, um der Ästhetik nahe zu kommen. Unsere Einladung ist eine an Euch als Menschen, die sich stark mit den Digitalen Medien auseinander setzen.

Fragt Euch vielleicht:

Wie kann, wie will ich einem Aspekt von Rekursion gestalterisch Ausdruck verleihen? Wir werden Anregungen geben, Materialien bringen, die Euch hierzu anregen können. Ihr werdet in das Thema eindringen. Daraus entstehen Ideen. Mit ihnen setzen wir uns gemeinsam auseinander. So entwickeln sie sich weiter. Wir sind da total optimistisch.